Nós definimos (saiu) um módulo M sobre uma S-álgebra R para ser um S-módulo M com um −→ M do ∧S M da ação R tais que os diagramas padrão comutam. Nós obtemos um SR. da categoria dos R-módulos (deixados) e um Dr. derivado There da categoria é um ∧R N do produto M da quebra de um R-módulo direito M e de um R-módulo esquerdo N, que seja um Smodule. Para os R-módulos esquerdos M e N, há um S-módulo franco da função (M, N) que aprecia propriedades apenas como os módulos dos homomorphisms na álgebra. Cada franco (M, M) é uma S-álgebra. Se R é comutativo, a seguir o ∧R N e franco de M (M, N) é R-módulos, e neste caso o SR. e o Dr. apreciam todas as propriedades do MS e do DS. Assim cada S-álgebra comutativa R determina uma categoria derivada de R-módulos que tenha toda a estrutura que a categoria homotopy estável tem. Estas categorias novas são do interesse intrínseco substancial, e dão novas ferramentas poderosas para a investigação da categoria homotopy estável clássica.

Em cima da limitação aos espectros da pista do Eilenberg-Mac, nossa teoria topológica subsumes bastante álgebra clássica. Para um anel discreto R e os R-módulos M e N, nós temos os TorR n (M, N) πn do ∼= (HM ∧HR HN) e Extn R (M, N) π−nFHR do ∼= (HM, HN). Aqui o ∧R e o franco devem ser interpretados na categoria derivada; isto é, o HM deve ser um Hora-módulo do CW. Além disso, o Dr. derivado algébrico da categoria é equivalente à categoria derivada topológica DHR. Geralmente, para uma S-álgebra R, a aproximação dos R-módulos M pelos R-módulos fracamente equivalentes da pilha é aproximadamente análoga a formar definições projective na álgebra. Há uma analogia muito mais precisa que envolva desenvolver as categorias derivadas da INTRODUÇÃO 3 de módulos sobre anéis ou, mais geralmente, de DGA em termos dos módulos da pilha. É apresentado em [34], que dá uma teoria algébrica de k-álgebras de A∞ e de E∞ que paraleliza proximamente a teoria topológica atual. Em cima da limitação ao espectro S da esfera, ao ∧S derivado N dos produtos M da quebra e aos espectros FS da função (M, N) tem como seus grupos homotopy os grupos N∗ da homologia e do cohomology (M) e N∗ (M). Isto sugere as notações alternativas