Pensando do Dr. como uma categoria homotopy estável nova, onde R seja uma S-álgebra comutativa, nós podemos realizar a ação de um ∈ Rn do elemento x em um R-módulo M como um mapa dos R-módulos x: −→ M. de ΣnM. Nós definimos M/xM para ser o cofiber de x, e nós definimos a localização M [x −1] para ser o telescópio de um calculável iteramos dos desuspensions de x, começando com −nM do −→ Σ de M. Pela iteração, nós podemos construir quocientes por sequências dos elementos e das localizações em sequências dos elementos. Nós definimos espectros do R-anel, espectros associativos do R-anel, e espectros comutativos do R-anel no sentido homotopical, com −→ do ∧R A dos produtos A A definiu através dos mapas no Dr. derivado da categoria, e despeja ser bastante simples estudar quando os quocientes e as localizações de espectros do R-anel são outra vez espectros do R-anel

Nós construiremos localizações de Bousfield dos R-módulos em um R-módulo dado E. em princípio, esta é uma noção derivada da categoria, mas nós obteremos construções niveladas do ponto-grupo preciso. Usando construções diferentes do nível do ponto-grupo, nós mostraremos que as localizações de Bousfield das R-álgebras podem ser construídas para ser R-álgebras e as localizações de Bousfield dos R-módulos comutativos podem ser construídas para ser R-álgebras comutativas. Em particular, a localização RE de R em E é uma R-álgebra comutativa, e nós veremos que a categoria de Re-módulos joga intrinsecamente um papel fundamental no estudo de localizações de Bousfield.

Como um caso muito especial, esta teoria implicará que o nocaute dos espectros e o KU que representam a K-teoria periódica real e complexa podem ser construídos como as álgebras comutativas sobre o ko e o ku das S-álgebras que representam a K-teoria conexiva real e complexa. Consequentemente o nocaute e KU são S-álgebras comutativas, como tinha sido conjeturado por muito tempo no contexto mais adiantado de espectros do anel de E∞. Além disso, é distante mais simples provar as indicações mais afiadas do ko e da ku-álgebra do que para construir diretamente estruturas da S-álgebra.